ζ< 1 Under damped - decaying oscillation

ζ= 1 Cirtically Damped - just no overshoot

ζ> 1 Overdamped - system sluggish

제어 시스템 설계의 목적은 아주 조금의 오버슈트도 일어나지 않고 빠른 응답을 얻기 위해 사용된다. 시스템 ζ가 보통 0.7에서 1이 되도록 설계된다.

오버슈트의 양은 전적으로 감쇠 요소에 달려 있다. 오버슈트를 측정하여 감쇠 요소를 계산할 수 있고, ζ를 알면 오버슈트를 계산할 수 있다.

[eqn: ζ = SQRT { 1 over {1 + [ π over {ln(overshoot ratio)}]}}]	Eqn 7.1a

[eqn: overshoot \ ratio = {e }^{-πζ over SQRT { 1- { ζ}^{2 } } }]

=>	[eqn: % \ overshoot = 100 × {e }^{-πζ over SQRT { 1- { ζ}^{2 } } }]	Eqn 7.1b

많은 계산을 줄이기 위해 이 관계를 그림 7.3에 나타내었다. 그림 7.3 b는 제어 공학자들에게 가장 관심 있는 분야를 그리고 있다.

7.3 진동의 감쇠와 고유 주파수

감쇠 주파수 - ωd

underdamped 되는 시스템이 진동하는 주파수는 감쇠 주파수라고 한다. 이것은 연속되는 양의 피크값 사이에서 측정되고 그림 7.2에 나와있다. 이것은 한 사이클 이상이다.

사이클 주기의 역수는 헤르츠 주파수로 나타난다.

fd = 1/Td → ωd = 2πfd = 2π/Td이고 Td는 진동의 주기이다.

감쇠 주파수는 첫 번째 피크까지 걸린 시간을 측정하여 알 수 있다.

고유 주파수 - ωn

감쇠가 전혀 없을 때 (ζ= ∞)시스템은 지속적으로 한 주파수에서 진동하는데 이 주파수를 시스템의 고유 주파수라고 한다. 이것을 ωn 이라고 한다. 고유 주파수와 감쇠 주파수들 사이의 관계는

[eqn: ωn = ωd over SQRT { 1-ξ^2}]	Eqn 7.2a

[eqn: ωd = ωn SQRT { 1-ξ^2}]	Eqn 7.2b

그림 7.1에서 이득이 증가할수록 ωd가 증가한다는 것을 볼 수 있다. 이것은 이득을 증가시키면 오버슈트 증가의 비율을 제외하고 시스템을 보다 빠르게 작동할 수 있다는 것을 말한다.

7.4 오픈 루프 시스템에 대한 ζ와 ωn의 관계

2차 시스템을 감쇠요소 ζ와 고유 주파수 ωn으로 특징 지우는데, 이것은 오버슈트와 감쇠 주파수를 얻을 수 있다. 시스템을 설계하기 위해서 폐루프 시스템에서 단원 3과 4에서 측정한 Kp, Ki와 Ki에 대한 ζ와 ωn의 관계를 알아 볼 필요가 있다.

그림 7.4에 그 모델이 소개되었다.

시스템을 설명하는 두 변수는 이득(Kp * Ki)와 시정수 τ이다. 시정수의 역수는 절점 주파수 ωc로 나타낼 수 있다. 제어기의 비례이득은 서보시스템의 순방향 루프 이득 K가 K = Kc * Kp * Ki 가 되도록 한다.

감쇠 요소

시스템 방정식을 해석하면

감쇠 요소 ζ= √(ωc/4K)	Eqn 7.3

critical 감쇠는 ζ=1일 때이다. 방정식 7.3으로부터 이것은 K = ωc/4일 때 일어난다.

K>ωc/4, ζ<1 이면 시스템이 underdamp된다.

K<ωc/4, ζ<1이면 시스템은 overdamp된다.

0.7<ζ<1같은, 최상의 응답을 위해서 K를 ωc/2와 ωc/4 사이로 조절하라.

예- 이득 Kp가 1이고 적분기 이득 Ki가 10인 플랜트가 있다. 절점주파수가 5rad/sec일 때, 5%의 오버슈트를 일으키려면 얼마의 이득이 필요한가?

그림 7.3을 보라. 오버슈트는 0.7의 감쇠 요소가 필요하다. 방정식 7.3으로부터

0.7 = √(5/4×Kc×1×10)

0.49 = 5?40×Kc

Kc = 1/8×0.49 = 0.255

플랜트의 모델을 알면 제어기 이득을 폐루프 시스템의 오버슈트를 조절하는데 쓰인다.

고유 주파수

이것은 또한 ωn=√Kωc	Eqn 7.4

방정식 7.2b로부터 이 감쇠 주파수는:

ωd = √Kωc(1-ζ)2	Eqn 7.5

혹은 방정식 7.3의 ζ를 7.5로 바꾸면

[eqn: ωd = SQRT { (Kωc - ωc^2 over 4})}]

ζ>_1이면, 시스템이 두 개의 지연으로 나타내지기 때문에 ωd가 없다.

이전의 예와 같은 시스템을 사용하여, 첫 번 째 피크점까지 걸린 시간은?

ωd = √(0.255*1*10*5-25/4) = √(12.75-6.25) = √6.5 = 2.53rad/sec

Tp = π/ωd = π/2.53 = 1.24sec

ωc가 모터와 다른 시스템 기기에 의해 고정되었기 때문에 이득 Kc는 비례제어에서 조절할 수 있는 유일한 값이다. Kc를 조정하면 ωc와 ζ가 다 변한다.

비례 이득 제어 시스템을 이용하여, 특별한 오버슈트나 첫 번째 피크점 까지의 특별한 시간을 제어할 수 있다. 그러나 두 가지를 동시에 제어할 수는 없다. ωd와 ζ가 같이 제어되는 특별한 기술은 다음 장에서 배울 수 있다.

7.5 이들 관계들의 실험적 확인

이득 증가는 감쇠 주파수를 증가시키고, 감쇠요소를 감소시킨다는 것을 보았다. 그러나 고유 주파수와 감쇠 요소는 직접적으로 측정할 수 없다. 그래서 오버슈트와 첫 번째 피크점에 대한 측정을 해야 한다. 이 측정으로부터 이전의 Kp, Ki, ωc의 측정 요소를 이용하여 ωc와 ζ를 계산한다.

VCL 소프트웨어를 실행하고, setup|CA06PE07을 실행하라.

Kc를 1.5로, K를 0으로 설정하라.(VFB는 이 실험에서 사용되지 않는다. )

스위치를 켜고, 그래프가 다 그려졌을 때, 궤적을 멈추고, Time 표시기를 작동하게 한다.

․표시기를 이용해서, 안정 상태 출력 변화와 피크 출력 변화를 측정하라. 이것은 오버슈트를 계산하게 해 준다.

․그림 7.3으로부터 감쇠요소 ζ를 계산하라.

․첫 번째 피크점까지의 시간을 측정하라.

․감쇠 주파수 ωd를 계산하고, 고유 주파수 ω을 계산하라.

값들을 표 7.1에 기입하라.

Gain Kc	Overshoot	ζ	Tp seconds	ωd rad/sec	ωn rad/sec
1.5

표 7.1 감쇠 요소와 고유 주파수의 측정

단원 3과 4에서 얻은 모델을 이용하여 Kc=1.5인 감쇠 요소와 고유 주파수를 계산하라. 값을 표 7.2에 기록하라.

Kc	Kp	Ki	ωc rad/sec	ζ	ωn rad/sec
1.5

표 7.2 계산된 감쇠 요소와 고유 주파수 값

이 결과들은 구동 모터 내에서 비 선형요소를 잘 나타내고, 이 실험에서의 실험적 오류와 플랜트 변수의 결정을 위해 사용된 요소들이 잘 고려되었다.

7.6 2차 계단 응답

상승 시간

그림 7.2는 첫 번째 피크까지의 시간과 오버슈트가 표시된 2차 시스템의 계단응답을 보여준다.

지금까지 시간 응답은 Tp,즉 첫 번째 피크까지 도달하는데 걸리는 시간에 의해 설명되었다. 이번에 적은 오버슈트으로 Tp 대신 사용되는 Tr, 즉 증가 시간을 측정하는 것은 힘들다. 상승시간은 계단 응답이 첫 번째 시간동안 마지막 값에 도달하는데 걸리는 시간을 말한다. 분명히 이것은 오버슈트가 있을 때만 해당 된다. 상승시간은 감쇠 주파수와 감쇠 요소에 영향을 받는다. 주어진 감쇠 요소로부터 상승시간은 감쇠 주파수의 역수에 비례한다는 것을 알 수 있다. 즉

Tr ∝ 1/ωd

Decay 시간

아직 거론되지 않는 응답의 특징 중 하나는 진동이 사리질 때까지 걸리는 시간이다. 이것을 decay 시간이라고 한다. 이것은 시정수가 큰 지수함수이다.

그림 7.5는 같은 ωn과 다른 ζ를 가진 단계 응답의 수를 나타낸다.  이 곡선은 변수를 알 때 단계 응답을 측정할 때 쓰인다.

7.7 2차 주파수 응답

스텝응답으로부터 왜 고유 주파수가 중요하다는 것을 알 수는 없다. 그러나 주파수 응답 곡선을 그려보면 분명해진다.

그림 7.6은 고유 주파수는 같고 감쇠 요소가 다른 2차 시스템의 다양한 주파수 응답 곡선을 보여 준다.

모든 곡선의 주된 특징은

1. 고주파에서 ωn에서 0dB를 지나는 라인을 따라 진폭이 -40dB 감소한다.

2. ω= ωn일 때의 위상은 -90도이고, 고주파에서는 -180도로 변한다.

3.  감쇠 요소가 줄어들수록 진폭 응답 피크값은 커진다. 피크에서의 주파수를 공진 주파수라 하고, 이 값은 ωn보다 약간 작다. 이 주파수는 ζ<0.7일 때까지는 나타나지 않기 때문에 제어에서는 필요 없다. 그리고 대부분의 시스템은 그보다 더 큰 감쇠 요소를 가지도록 설계된다. 이 그래프로부터 ω와 ζ를 알면 폐루프에서 주파수 응답을 그려볼 수 있다.